\(\mathrm {Exercise \ \oplus \ Problem } \ 9 \)
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\( \qquad \)你好，这里是我的个人网站数学分析的每周一题栏目(数学分析每周一题，其中数学分析指的是数学中的分析学, 主要包括微积分，实分析，复分析) \(\qquad \ \)——————Alina Lagrange
证明: \( \forall f \in L^p ( \mathbb R^n ) , 1\leq p< \infty \), 有 \[\| f\| _{L^p (\mathbb R^n )} ^p =p \int_0^\infty t^{p-1 }m(E_t ) dt \]其中 \( E_t = \{x\in \mathbb R^n :|f(x)| > t \}. \)
\(\mathcal{P}roof. \)
\[ \begin{aligned} \| f\| _{L^p( \mathbb R^n ) }^p &= \int_{\mathbb R^n } |f| ^pdm \\& = \int_{\mathbb R^n }\int _0^{| f(x )| } p t^{p-1 } dt dm \\&= \int_{\mathbb R^n }\int _ {\mathbb R } \chi_{ \{ (x,t) : 0< t< |f(x) | \} } (x,t ) p t^{p-1 } dt dm \\&= \int_{\mathbb R }\int _ {\mathbb R^n } \chi_{ \{ (x,t) : 0< t< |f(x) | \} } (x,t ) p t^{p-1 } dm dt \\& = p \int_0^\infty t^{p-1 } m(E_t ) dt \quad \quad E_t = \{x\in \mathbb R^n :|f(x)| > t \}. \end{aligned} \]